包絡線 Envelope

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包絡線 （ほうらくせん、 envelope ）とは、与えられた曲線族と接線を共有する曲線、すなわち与えられた（一般には無限個の）全ての曲線たちに接するような曲線のことである。 Envelope (not more pleasure, envelope) and the curves that share a tangent to a given family of curves, ie given (typically a single infinity) curve is similar to that of all contact with their curves. 一般的に最も身近な物として、振幅変調によるAMラジオ放送で利用されている。 The most familiar things in general, amplitude modulation is used in AM radio broadcasting.

曲線族の包絡線 Envelope of the family of curves

包絡線は、次のようにして求められる。 Envelope is then asked as follows.

媒介変数 tで添字付けられるn次元ユークリッド空間 R ⁿ上の曲線族 { F _t ( x ₁ , ... , x _n ) = 0} _{t ∈ R}に対する包絡線は、連立方程式 Parametric space t be indexed by n-dimensional Euclidean family of curves on R ⁿ (F _t (x _1, ..., x _n) = 0) _{t ∈ R} envelope for the equations

$\ begin (cases) F_t (x_1, \ dots, x_n) = 0 \ \ \ cfrac (\ partial) (\ partial t) F_t (x_1, \ dots, x_n) = 0 \ end (cases)$

からtを消去して得られる曲線 φ( x ₁ , ... , x _n ) = 0 に等しい。 T clear from the curve obtained by φ (x _1, ..., x _n) = 0 is equal to.

[ 編集 ] 包絡線の例 Examples of the envelope

実数値の媒介変数tで添字付けられる直線の族 { L _t } _{t ∈ R} L _t : y = sin( t ) x + cos( t ) の包絡線を、実際に上の方法で求めてみる。 Parametric family of straight lines are real values indexed by t (L _{t) t ∈ R} L _t: y = sin _(t) x + cos _(t) the envelope, try looking on the actual way. まず、 L _tを sin( t ) x - y + cos( t ) = 0 の形に変形しtについて偏微分すれば、 First, L _t to sin (t) x - y + cos (t) = 0 and t would be transformed into a differential equation for,

$\ frac (\ partial) (\ partial t) (\ sin (t) x - y + \ cos (t)) = \ cos (t) x - \ sin (t)$

となるから、包絡線を求めるための連立方程式 From which, to seek the envelope equations

$\ begin (cases) \ sin (t) x - y + \ cos (t) = 0, \ \ \ cos (t) x - \ sin (t) = 0 \ end (cases)$

を得る。 Gain. 式を変形してx ² - y ² + 1 = 0。 To transform the equation x ² - y ² + 1 = 0. これが直線族 { L _t } _{t ∈ R}の包絡線である。 This ethnic lines (L _{t) t ∈ R} is the envelope. この場合、包絡線は双曲線であることがわかる。 In this case, line envelope is seen to be hyperbolic.

[ 編集 ] 関連項目 See also

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