整数 Integer

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整数 （せいすう、 Integer ）とは、0 とそれに 1 ずつ加えていって得られる数 (1, 2, 3, ) および 1 ずつ引いていって得られる数 (-1, -2, -3, ) の総称である。 Integer (number of live, Integer) is 0 and it is going to get one of each well (1, 2, 3, ...) and get on the one obtained by subtracting the number one (-1, -2, -3 , ...) is a generic name. 整数の全体からなる集合は普通、太字のZまたは黒板太字の Consisting of the entire set of integers are usually in bold or blackboard bold Z で表す。 Represented. これはドイツ語Zahlen （数・複数形）による。 The German Zahlen (plural number) by.

代数的整数と対比させるために、 有理数の中で整なものであるという意味で有理整数と呼ぶこともある。 In order to be contrasted with algebraic integers, sometimes called integer and rational in the sense that something is in the rational adjustment.

[ 編集 ] 素朴な説明 A simple explanation

自然数 nに対して加法における逆元 - nを導入し、これを負の整数とする。 Natural number n the original back in addition to - n the introduction to integers and so negative. 負の整数に対しても結合法則 、 分配法則等が成り立つように加法ならびに乗法を定義すると、整数は加法に対してアーベル群 （可換な群）をなし、乗法に関しては可換なモノイドをなす。 Associative against integer is negative, and to define the additive and multiplicative so holds and the distributive law, the group of integers Abel for additive (commutative groups) without the multiplicative terms form a monoid Commutative .

つまり、整数は可換環である。 In other words, an integer is a commutative ring. くだいていえば、普通に足し算、引き算、それにかけ算ができるということである。 In terms of give me, the ordinary addition, subtraction, multiplication is that it can be. この環は代表的なユークリッド整域である。 This ring is an integral domain Euclidean representative.

例えば次のことは、整数が環であることを用いれば証明できる。 Following that, for example, can prove to be用Ire that the ring of integers.

(- a ) × (- b ) = a × b (- A) × (- b) = a × b

証明 Certification

- aと - a'をaの逆元とすると、 - A and - a 'a a and to the inverse of

- a = - a + 0 = - a + { a + (- a' )} = (- a + a ) + (- a' ) = 0 + (- a' ) = - a' 。 - A = - a + 0 = - a + (a + (- a ')) = (- a + a) + (- a') = 0 + (- a ') = - a'.

∴ - a = - a'つまり逆元は一つだけである。 ∴ - a = - a 'That is only one inverse. 　ここから -(- a ) = aも言える。 Here - (- a) = a and true. さらに、 Moreover,

a × 0 = a × 0 + 0 = a × 0 + [ a × 0 + {-( a × 0)}] = ( a × 0 + a × 0) + {-( a × 0)} = a × (0 + 0) + {-( a × 0)} = a × 0 + {-( a × 0)} = 0 。 a × 0 = a × 0 + 0 = a × 0 + [a × 0 + (- (a × 0))] = (a × 0 + a × 0) + (- (a × 0)) = a × (0 + 0) + (- (a × 0)) = a × 0 + (- (a × 0)) = 0.

∴ a × 0 = 0　全く同様にして 0 × a = 0 も言える。 ∴ a × 0 = 0 just like to say the 0 × a = 0.

a × b + (- a ) × b = { a + (- a )} × b = 0 × b = 0 。 a × b + (- a) × b = (a + (- a)) × b = 0 × b = 0.

∴ -( a × b ) = (- a ) × b 。 ∴ - (a × b) = (- a) × b.

(- a ) × (- b ) + {-( a × b )} = (- a ) × (- b ) + (- a ) × b = (- a ) × {(- b ) + b } = (- a ) × 0 = 0 。 (- A) × (- b) + (- (a × b)) = (- a) × (- b) + (- a) × b = (- a) × ((- b) + b) = (- a) × 0 = 0.

∴ a × b = (- a ) × (- b ) 。 ∴ a × b = (- a) × (- b).

QED QED

[ 編集 ] 整数の分類 Classification of integers

正整数 Positive integer

1 以上の整数のこと。 That one or more integers. 自然数を 1 から始めると定義している場合には自然数と同じ集合となる（自然数に0を含める流儀もある）。 If natural numbers are defined as one to start with and the same set of natural numbers (natural numbers including 0 in the style).

負整数 Negative integers

負の整数を参照。 See the integer is negative.

非負整数 Negative integer

負整数の補集合 。 Complement of integer negative. つまり、0 以上の整数のこと。 This means that an integer greater than 0. 自然数を 0 から始めると定義している場合には自然数と同じ集合となる。 If natural numbers are defined as 0 to start with and the same set of natural numbers. 自然数を 1 から始めると定義している場合、0 を加える際に、しばしばこの表現が用いられる。 If natural numbers are defined from the start, when adding 0, this expression is used often. 自然数を 0 から始めるか、1 から始めるかの議論を避けたい場合にも用いられる。 I start with natural numbers 0, 1 is used even if you do not want to start a discussion.

非正整数 Non-positive integers

正整数の補集合。 Complement of a positive integer. つまり、0 以下の整数のこと。 This means that the following integer 0.

[ 編集 ] 整数化 of integer

実数を整数化する関数としては床関数や天井関数などがある。 As a function of the real number is an integer that such functions floor and ceiling functions.

[ 編集 ] 形式的な構成 Formal construction

自然数の全体Nは減法について閉じていないが、上ではそれを補完するものとして負の整数を導入し、整数の全体Zを構成した。 Whole of the natural numbers N is not closed under subtraction, on the introduction of a negative integer as a supplement to it, composed the whole of integers Z. それと本質的には変わらないが、よく知られる方法としてここでは、減法を陽に持ち出さずに、自然数の加法と乗法のみから同値関係や商集合といった道具を使って、整数が形式的かつ厳密に構成できることを記しておく。 Got to have essentially the same, well known here as a way to explicitly持Chi出Sazu a subtraction, and using the tool set and business relationships from the equivalent of only addition and multiplication of natural numbers, integers in formal and rigorous admits that you can configure. ^{[1] [1]}

まず、 直積集合 N ² = N × N = {( a , b ) | a , bは自然数} を考えよう。 First, Cartesian product N ² = N × N = ((a, b) | a, b is a natural number) consider. ^{[2] [2]}

N ²に加法+を N ² + addition to the

( a , b ) + ( c , d ) = ( a + c , b + d ) (A, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

と成分ごとの和で定義する。 To define the sum of each component. 当然N ²はこの加法+について閉じている。 N ² + course is closed for this additive. さらに少し恣意的ながら、乗法×を While a bit more arbitrary, multiplication × a

( a , b ) × ( c , d ) = ( ac + bd , ad + bc ) (A, b) × (c, d) = (ac + bd, ad + bc)

で定める。 Prescribed by. また、 N ²の部分集合R = {( m , m ) | m ∈ N } を用いて、 N ²に同値関係 ～ を In addition, N ² subset of R = ((m, m) | m ∈ N) are used, N ² relations equivalent to ~ a

( a , b ) ～ ( c , d ) ⇒ ( a , b ) + ( d , c ) ∈ R (A, b) ~ (c, d) ⇒ (a, b) + (d, c) ∈ R

と定義することができる。 Can be defined. ここで、互いに同値であるようなものを同一視する。 Now, as to equate what is equivalent to each other. 厳密にはN ²を同値関係 ～ で類別した集合（商集合） N ² / Rを考えるのである。 Strictly speaking an equivalence relation - a set of N ² in the assortment (set quotient) N ² / R is a given. これは、互いに同値なもの全体の集合（同値類）を元とするような集合である。 This is what the entire set of mutually equivalent (equivalence) is similar to the original set. ( a , b ) ∈ N ²の属する同値類を [ a , b ] ∈ N ² / Rと表すことにする。 (A, b) ∈ N ² belongs to the equivalence class [a, b] ∈ N ² / R and to be represented. つまり、[ a , b ] は In other words, [a, b] is

[ a , b ] = {( c , d ) ∈ N ² | ( a , b ) ～ ( c , d )} = {( a , b )} ∪ {( a , b ) + ( m , m ) | m ∈ N } [A, b] = ((c, d) ∈ N ² | (a, b) ~ (c, d)) = ((a, b)) ∪ ((a, b) + (m, m) | m ∈ N)

となる集合である。 Will be set. 同値類を [ a , b ] のように表したとき、( a , b ) をこの同値類の代表元と呼ぶ。 The equivalence class [a, b] when expressed as, (a, b) called the former representative of this equivalence class. 代表元は同値なものでありさえすれば他のものに取り替えることができる。 Former President can replace the others and you have to do something equivalent.

商集合N ² / Rに加法 + と乗法 × を Quotient set N ² / R + and multiplication × additive to the

[ a , b ] + [ c , d ] = [( a , b ) + ( c , d )] = [ a + c , b + d ] [A, b] + [c, d] = [(a, b) + (c, d)] = [a + c, b + d]

[ a , b ] × [ c , d ] = [( a , b ) × ( c , d )] = [ ac + bd , ad + bc ] [A, b] × [c, d] = [(a, b) × (c, d)] = [ac + bd, ad + bc]

と定義すると、これらは代表元の取り方によらずに、同値類同士の演算としてうまく定義されていることが確かめられる。 Defining and regardless of who they will take the original squad, to be sure that a well defined equivalence between operators.

このとき、[ a , b ] + [ m , m ] = [ a + m , b + m ] = [ a , b ] だから、 RはN ² / Rの加法に関する単位元である。 In this case, [a, b] + [m, m] = [a + m, b + m] = [a, b] So, R is N ² / R is a former unit of the additive. また、自然数mに対して [ m + 1, 1] を対応させる写像は単射で Also, the natural number m [m + 1, 1] mapping to support a fire in a single

[ m + 1, 1] + [ n + 1, 1] = [ m + n + 2, 2] = [( m + n ) + 1, 1], [M + 1, 1] + [n + 1, 1] = [m + n + 2, 2] = [(m + n) + 1, 1],

[ m + 1, 1] × [ n + 1, 1] = [( m + 1)( n + 1) + 1, ( m + 1) + ( n + 1)] = [ mn + 1, 1] [M + 1, 1] × [n + 1, 1] = [(m + 1) (n + 1) + 1, (m + 1) + (n + 1)] = [mn + 1, 1]

を満たす（ 準同型 ）のでNはN ² / Rに演算まで込めて埋め込める。 Meet (homomorphism), so N is N ² / R to the operator to embed con. 記号の濫用ではあるが、自然数mを埋め込んだ先と同一視してm = [ m + 1, 1] と書くことにし、これを（正の）整数mと呼ぼう。 The abuse of the symbol is some natural number m to the destination identified with embedded m = [m + 1, 1] and to write with this (positive) integer m we will call.

同様の埋め込みは、自然数mに対して [1, m + 1] を対応させることでも得られるが和と積は A similar embedding, for natural number m [1, m + 1] is the sum and product can be obtained to support the

[1, m + 1] + [1, n + 1] = [1, ( m + n ) + 1], [1, m + 1] + [1, n + 1] = [1, (m + n) + 1],

[1, m + 1] × [1, n + 1] = [1 + ( m + 1)( n + 1), ( m + 1) + ( n + 1)] = [ mn + 1, 1] [1, m + 1] × [1, n + 1] = [1 + (m + 1) (n + 1), (m + 1) + (n + 1)] = [mn + 1, 1]

になる。 Be. 自然数mに対し、新たな記号 - mを [1, m + 1] を表すものとして導入し、これを負の整数 - mと呼ぼう。 M for natural numbers, a new symbol - m a [1, m + 1] introduced as representing a negative integer this - m'd call them. 負の整数同士の積が正の整数になっていることが確認できる。 Can confirm that the product is a positive integer between negative integers.

このとき、 m + (- m ) = [ m + 1, 1] + [1, m + 1] = [ m + 2, m + 2] = Rだから、負の整数 - m = [1, m + 1] はN ² / Rにおいてはちょうど、正の整数m = [ m + 1, 1] の加法に関する逆元になっている。 In this case, m + (- m) = [m + 1, 1] + [1, m + 1] = [m + 2, m + 2] = R, so a negative integer - m = [1, m + 1] N ² / R in just a positive integer m = [m + 1, 1] is the additive inverse of. Rをあらためて 0 と書くことにして、 N ² / R = { m , 0, - m | m ∈ N } を整数全体の集合とよび、あらためてZと書くことにしよう。 R 0 and to write anew, and, N ² / R = (m, 0, - m | m ∈ N) Yobi the set of all integers, Z again and try to write.

このようにして整数の全体Zが厳密に定義されが、なお定義に従えばZにおいて結合法則や分配法則などの環の公理が満たされることがきちんと証明できる。 In this way all the integers Z is strictly defined, and Z can be proved according to well-defined addition to the ring axioms are satisfied, such as in the associative and distributive law.

[ 編集 ] 整数環のイデアル ideal of the ring integral

互いに素な二つの整数x , yに対して、 ax + by = 1 を満たす整数a , bが存在することはユークリッドの互除法などにより保証される。 Two integers prime to each other x, y for, ax + by = 1 satisfy the integer a, b can exist is guaranteed by law, such as Euclidean. このとき、 x , yがそれぞれ生成する単項イデアル ( x ), ( y ) について In this case, x, y respectively, to generate ideal domain (x), (y) for

( x ) + ( y ) = Z (X) + (y) = Z

が成り立つ。 Holds that.

同様に、 xとyの最大公約数がdのとき、 ax + by = dを満たす整数a , bが存在するので、 Similarly, x and y when the greatest common divisor of d, ax + by = d integers satisfy a, b, so there,

( x ) + ( y ) = ( d ) (X) + (y) = (d)

が成り立つ。 Holds that.

これらのことから、 Zが単項イデアル整域であることがわかる。 From these, Z understand that the principal ideal domain. また、素因数分解も考えることにより、素数pの生成する単項イデアル ( p ) は素イデアルであることが分かるが、さらに極大イデアルであることがわかる。 Also, by considering the prime factorization, prime ideal domain to generate p (p) will prove a prime ideal, maximal ideal is more to know. 実際、( p ) に含まれないxをとり、 xとpを含むイデアル ( x , p ) = x Z + p Zを考えると、このときxとpが互いに素であることから、( x , p ) = Zとな( p ) は極大イデアルでもある。 In fact, (p) are not included in x takes a, x and p contain the ideal (x, p) = x Z + p Z and think, this time from x and p are relatively prime, (x, p) = Z a and (p) is also a maximal ideal. Zの極大イデアルはすべてこのように素数pの生成するイデアルとして得られることも言える。 Maximal ideal of Z is prime to p say all this can be obtained as to generate the ideal.

また、0 の生成するイデアル {0} は素イデアルであるが極大イデアルでなく、1 の生成するイデアルはZ自身であるので、素数とはZの自明でない素イデアルを生成する数として特徴付けることも出来る。 The zero ideal (0) is not to generate the maximal ideal is a prime ideal, Z 1 is ideal because of its own produce, and can characterize Z as the number of prime numbers to generate a non-trivial prime ideal possible. （スタブ） (Stub)

[ 編集 ] アーベル群への作用 Abelian action to

Xが加法群（群の演算が + で書かれるアーベル群 ）であれば写像Z × X → X ; ( n , x ) → nxを The additive group X (the operator of the group + group Abel is written in a) if mapping Z × X → X; (n, x) → nx the

と定義することにより、 ZのXへの作用すなわち、 ZからXの自己準同型環 End( X ) への準同型が定まる。 Defined by, Z of X into action ie, Z to X's self-ring homomorphism End (X) to come to a homomorphism. したがって、任意の加法群はZ - 加群である。 Therefore, any additive group Z - a pressure group.

[ 編集 ] コンピュータにおける整数表現 integer representation in computer

詳細は「 整数型 」を参照 More "integer" section

コンピュータの内部では電気的な信号の有無を 1 と 0 に割り当て、 2進法を用いて整数を表現するのが基本である。 In a computer is the presence of an electrical signal assigned to 1 and 0, 2 is the base used to represent a decimal integer. 通常は、2 バイト （16 ビット ）または 4 バイト（32 ビット）の範囲で表現できる範囲の数を扱う。 Typically, two-byte (16 bit) or 4 bytes (32 bit) can handle the number of ranges in the range of expression. 負の値を扱う場合は、 2の補数表現などが用いられる。 When dealing with negative values, the two are used as complement representation. 通常は有限の範囲の整数しか扱うことができないが、処理速度を犠牲にして無限の整数を扱う方法もある。 But usually can not handle only a finite range of integers, there are ways to handle the infinite integral at the expense of speed.

事務処理など金額などの大きな桁や 10 進小数を正確に扱う必要がある場合、 二進化十進表現を用いる。 Such as digit and large amounts of paperwork and 10 cases must be treated the exact decimal fractions, using a binary representation of 10 evolution 2.

[ 編集 ] 脚注 Footnote

[ 編集 ] 参考文献 References

• 保江邦夫 『数の論理　マイナスかけるマイナスはなぜプラスか？ Kunio Yasushi Kou Minus put the number of negative or positive logic why? 』 講談社 〈 ブルーバックス 〉、2002年。 』Kodansha" Arizona Blue ", 2002. ISBN 4-06-257397-0 ISBN 4-06-257397-0
• 高木貞治 『数の概念』 岩波書店 、1970年。 Teiji Takagi. Based on the concept of 『Iwanami Shoten, 1970. ISBN 4-00-005153-9 ISBN 4-00-005153-9

[ 編集 ] 関連項目 See also

• 自然数 Natural number
• 有理数 Rational
• 環論 Ring theory
• ユークリッド整域 Euclidean integral domain
• 整数型 Integer

[ 編集 ] 外部リンク External links

Eric W. Weisstein. Integer , MathWorld . （英語） Eric W. Weisstein. Integer, MathWorld. (English)