曲線 Curve

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この項目では、数学上の曲線について記述しています。 In this article, we describe the mathematical curve. 道路や鉄道路線に見られる曲線については「線形 (路線) 」をご覧ください。 For curved roads and railway lines seen in the "linear (lines)," please.

一般に、曲線（きょくせん、 curve ）はまっすぐではない曲がった線、したがって直線ではない線を意味する語である。 In general, the curve (polar, curve) is a crooked line straight there, the line so there is a word that means the line. 数学においては、曲線にはその特別な場合として直線や線分の概念を含む。 In mathematics, the concept of lines and curves, including linear as if its special. 特に解析幾何学において、曲線は本質的に一変数の連続関数の組を用いて記述される。 The geometric analysis, especially curve is described using a set of functions of one variable continuous in nature.

目次 Contents

[ 編集 ] 定義 Definition

[ 編集 ] 平面曲線 plane curve

パラメータ tは実数のある区間 I （たとえば、数直線全体Rとか閉区間 [0, 1] など）を動くものとし、連続関数 φ( t ), ψ( t ) を与える。 Parameter t is the interval that the real number I (for example, the entire line closed interval of R or [0, 1], etc.) and it runs a continuous function φ (t), ψ (t) given. このとき、 x = φ( t ), y = ψ( t ) とおくことにより、 xy -平面R ²において、( x , y ) = (φ( t ), ψ( t )) で表される点の軌跡を平面曲線という。 In this case, x = φ (t), y = ψ (t) by Tooku, xy - plane in R ^2, (x, y) = (φ (t), ψ (t)) represented by point the trajectory of the plane curve.

あるいはこれをφ ( t ) = (φ( t ), ψ( t )) と置いて得られる実変数ベクトル値関数φ : I → R ²そのものを平面曲線と呼ぶこともある。 Or so φ (t) = (φ (t), ψ (t)) obtained by vector-valued functions of real variable and put φ: I → R ² is sometimes called a plane curve with itself. このとき曲線には、 Iでの大小関係から自然に向きがつく。 The curve this time, I get a direction from the relationship between large and small in nature.

もし、 x = φ( t ) がtについて解くことができるなら、 t = φ ^-1 ( x ) と書けて、 y = ψ(φ ^-1 ( x )) となるから、 If, x = φ (t) is if we can solve for t, t = φ ^-1 (x) to write and, y = ψ (φ ^-1 (x)) from which,

$y = f (x) \ quad (f = \ psi \ circ \ varphi ^ (-1))$

という連続関数 fが得られる。 Function of continuous f can be obtained. 逆に、連続関数fがあってy = f ( x ) と書けているなら、φ = id _I , ψ = f （あるいは同じことだが、 x = t , y = f ( t )）と置いてやれば (φ( t ), ψ( t )) = ( x , f ( x )) の軌跡は平面曲線を描く。 Conversely, there is a continuous function f y = f (x) and write if you are, φ = id _I, ψ = f (or the same thing, x = t, y = f (t)) do it and put if (φ (t), ψ (t)) = (x, f (x)) locus of the plane curve.

あるいは、 x = φ( t ), y = ψ( t ) を連立してパラメータtが消去できるなら、それは 2 変数の連続関数Fを用いて、 F ( x , y ) = 0 の形に表すことができる。 Or, x = φ (t), y = ψ (t) the t parameter and the coalition can be cleared if it is a continuous function of two variables using the F, F (x, y) = 0 to represent the shape of can. このとき一般には、 F = 0 はもとの曲線以外にも複数の陰関数を含む。 Generally this time, F = 0 is one of several, including the implicit curve than the original.

[ 編集 ] 空間曲線 space curve

上で見たことは、空間の次元が上がっても本質的に同じことが言える。 I've seen on, say essentially the same thing up the dimension of the space. 一般にn次元の場合を記しておく。 If you wrote a general n-dimensional.

ある区間I内で連続的に変化するパラメータtで添字付けられるR ⁿ内の点の族x ( t ) = ( x ₁ ( t ), x ₂ ( t ), ..., x _n ( t )) で各x _k ( t ) がtについての連続関数となるもの軌跡あるいは関数x : I → R ⁿそのものをn次元空間内の曲線とよぶ。 I have to change the interval parameters are continuous in t in the indexing of points in R ⁿ family x (t) = (x ₁ (t), x ₂ (t), ..., x _n (t) ) for each x _k (t) t is a continuous function or functions for trajectory and that x: I → R ^{n itself} in curves and we call n-dimensional space. 特にn = 3 のときを空間曲線と呼ぶことがある。 N = 3 in particular that the space curve when called.

[ 編集 ] 一般の曲線 General curve

同様に一般の位相空間Eに対して、区間I上で定義される連続写像 ρ の像あるいは写像そのものをE内の曲線という。 As general topological space E for the interval I continuous mapping ρ defined on the map itself or the image of a curve in E.

区間Iは連続的に変形して長さを 1 にできるから、一般にIとしては [0, 1] をとることが多い。 Section I is the length that can be transformed from a continuous one, as generally I [0, 1] tend to take. あるいは端点を含まないときは (0, 1) や [0, 1), (0, 1] を使う。 If that does not contain or end point (0, 1) and [0, 1), (0, 1] used.

向きのある曲線 ρ: [0, 1] → Eに対し、 x ₀ = ρ(0), x ₁ = ρ(1) をそれぞれ、曲線 ρ の始点、終点と呼び、ρ をx ₀とx ₁を結ぶ道 (path) と呼ぶことがある。 In the direction curve ρ: [0, 1] → E for, x ₀ = ρ _(0), x ₁ = ρ _(1), respectively, the starting point of the curve ρ, called the end, ρ the x ₀ and x ₁ road connecting the (path) may be called.

λ(0) = λ(1) = x ₀となる連続写像 λ は（ x ₀を基点とする） 閉曲線あるいは閉道、 ループなどという。 λ ₍₀₎ = λ (1) = x 0 and λ is a continuous mapping (x ₀ to the origin) or閉道closed curve, and a loop.

[ 編集 ] 滑らかさ smooth

曲線を連続写像の組であると捉えるとき、「連続」という部分を強めたり弱めたりすることができる。 When considered as a set of continuous maps of the curve, "continuous" may be partial or it strengthened or weakened. たとえば、仮定を弱めて高々有限個の不連続点を持つがそれ以外は連続（これを「 区分的に連続 」と言い表す）などとすると、一般にいくつかの曲線の和集合になる。 For example, high otherwise weaken the assumption that we have a finite number of discrete points is continuous (this "piecewise continuous" and express) and you will generally union of several curves. これを曲線に入れる立場からは、この区分的に連続な写像としての曲線を区分的に連続な曲線と呼んで区別し、対して既に定義したような連続写像としての曲線を連続曲線という。 Add to this curve from the position to distinguish between a continuous curve called the curve of a piecewise-continuous mapping of this type, a continuous curve as the curve already defined as a continuous mapping for. これは一般に「一つのつながった曲線」つまり「弧状連結な曲線」というのとは意味が異なる。 This is generally "a single connected curve" or "arcwise connected curve" and that a different meaning. 曲線が自己交差を持つことがあるからである。 May be from a self-intersecting curve. ただし、多項式関数y = f ( x ) のグラフなどでは連続曲線と連結な曲線は同義なものになる。 However, polynomial function y = f (x) and consolidated graph of the curve is going to be a synonym for continuous curve.

また、一般に連続曲線は尖点（ cusp ; カスプ）を持つが、仮定を強めて「微分可能」とすると、この曲線は尖点を持たないものになる（これを滑らかと称する）。 The generally continuous curve point cusp (cusp; cusp) is with the assumption increasingly "differentiable" And you, this curve will be no cusp (called smoothing it). これは例えば、絶対値をとる関数y = | x | をx = 0 を内点として含む区間Iで考えたものは微分不可能なx = 0 において尖った点を持っていることなどからわかるだろう。 This is, for example, take the absolute value function y = | x | a x = 0 in the interval containing a point which I thought was impossible in the differential from x = 0 and know that they have a sharp point in wax. 曲線上の任意の点で微分可能な曲線を可微分曲線あるいは滑らかな曲線という。 A smooth curve or a curve differentiable differentiable curve at any point on the curve. 通常は、各x _k ( t ) はtについて区分的に十分滑らかであるなどの制限を加えることが多い。 Typically, each x _k (t) at t often make such restrictions on the piecewise smooth enough. そうでなければ、たとえば平面上のあらゆる点を埋め尽くすペアノ曲線のような病的なものまでが曲線の仲間に入ってしまって不便だからである。 Otherwise, it is inconvenient because Shimatsu into fellow of the curve is similar to that of pathological filling Peano curve every point on the plane, for example. 日常語としての「曲線」はほとんどすべての場合、可微分曲線であるといってよい。 As a household word "curve" is almost all cases, it is pretty much differentiable curve.

[ 編集 ] 平面曲線の例 Examples of plane curve

y = f ( x ) が多項式関数なら連続であるから、よく知られた一次関数や二次関数のグラフは平面曲線の例である。 y = f (x) from the polynomial function is continuous if the graph of the function the following two functions and the following is an example of one well-known plane curve.
別の例としては Another example
$x = \ frac (3t) (1 + t ^ 3), \, y = \ frac (3t ^ 2) (1 + t ^ 3)$
で表される曲線（デカルトの正葉曲線）がある。 Represented by curve (curve leaves positive Descartes) there. これはy = f ( x ) の形には書けないが、 x ³ - 3 xy + y ³ = 0 の形に表される（三次曲線の一種である）。 This is y = f (x) can not write in the form of, x ³ - ³ xy + y ³ = 0 is represented in the form of (a kind of quadratic curve 3).
あるいは、 x = cos t , y = sin t ( t ∈ [0, 2π)) とおけば、これが単位円を描くこと、すなわちx ² + y ² = 1 を満たす点の軌跡に一致することはよく知られている。 Or, x = cos t, y = sin t (t ∈ [0, 2π)) if and Oke, to draw a circle this unit, namely x ² + y ² = 1 to match the trajectory of the point is well satisfied known. すなわち、円も平面曲線の例である。 In other words, the cases of plane curve yen.

[ 編集 ] 性質など and nature

弧状連結の定義: 空間内の任意の点が（連続な）曲線で結べるなら、その空間は弧状連結である。 Definition of arcwise connected: any point in space (continuous) curve if you tie, that space is arcwise connected.
一次元多様体の定義: 曲線上の各点で接線が引けるならば、その曲線は一次元の多様体である。 Definition of one-dimensional manifold: If you hesitate a tangent at each point on the curve, the curve is the body's various one-dimensional.

[ 編集 ] 代表的な曲線 A typical curve

円錐曲線（二次曲線） Conic section (quadratic 2)

三次曲線 Cubic curve

トロコイド Trochoid
- サイクロイド Cycloidal
外トロコイド（エピトロコイド） Epitrochoid (epitrochoid)
- 外サイクロイド（エピサイクロイド） Epicycloid (Episaikuroido)
  - カージオイド（心臓形） Cardioid (cardioid)
内トロコイド（ハイポトロコイド） Hypotrochoid (Haipotorokoido)
- 内サイクロイド（ハイポサイクロイド） Hypocycloid (Haiposaikuroido)
  - アステロイド（星形） Asteroid (a star)

カッシーニの卵形線 Oval of Cassini
- レムニスケート（連珠型） Lemniscate of Bernoulli (beaded type)

パスカルの蝸牛形 Limaçon

正規分布曲線 (ベル・カーブ) Normal distribution curve (bell curve)

[ 編集 ] 関連項目 See also

ジョルダンの閉曲線定理 Theorem of Jordan closed curve

基本群 Fundamental group

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