確率論 Probability

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確率論 （かくりつろん、 Probability theory ）とは、非決定論的過程、すなわち、ある現象の次の状態は、部分的には前の状態から決定されるが、完全に前の状態には依存しておらず、 確率的な予言しかできない偶然 現象に対して数学的なモデルを与え、解析する数学の一分野である。 Probability theory (probability theory, Probability theory) is a non-deterministic process, ie, the next state of the phenomenon is partly to be determined from the previous state, before the full state-dependent not to, given the model a mathematical chance for the behavior not only a probabilistic prediction, a branch of mathematical analysis. 17世紀にカルダノ 、 パスカル 、 フェルマー 、 ホイヘンス等によって数学の一分野としての端緒が開かれた。 17 Karudano century, Pascal, Fermat, held a clue such as a branch of mathematics by Huygens.

現代数学の確率論は、 アンドレイ・コルモゴロフの "確率論の基礎概念"（1933年）に始まる公理主義的確率論である。 Probability theory in mathematics today is of Andrei Kolmogorov "basic concepts of probability theory" (1933) begins with the axioms of probability theory and principles. 他の現代数学と同様に、この確率論では「確率」が何を意味しているのかという問題は追求せず、「確率」が満たすべき性質をいくつか規定し、その性質から導くことのできる定理を突き詰めていく学問である。 Like other modern mathematics, the theory of probability is "probability" that the question of what meaning does not pursue, "probabilistic" nature of some of the provisions are met, can be derived from the nature theorem we get down to a science. この確率論の基礎には集合論・測度論・ルベーグ積分があり、確率論を学ぶためにはこれらの知識が要求される。 The basis of this probability is in the integral Lebesgue theory of measure set theory, probability theory to learn these skills is required.

現在、確率論は解析学の一分野として分類されている。 Currently, the probability that is classified as a branch of mathematical analysis. 特にルベーグ積分論や関数解析学とは密接なつながりがある。 Functional analysis and integration theory and Lebesgue in particular is inextricably linked. もちろん離散数学との関係も依然として深いが、離散的な場合であってもその内容は解析的なものであることが多い（つまり、不等号を駆使する学問である）。 The deep still of course discrete mathematics and its relationship to its contents, even if that is what many discrete analytic (ie, the study will employ the inequality). また、確率論は統計学を記述する際の言語や道具としても重要である。 Also, the probability is also important as a tool for writing the language and statistics.

もともとサイコロ賭博といったギャンブルの研究として始まったが、今では保険や投資などの分野で実用されている。 Began as a study of gambling and gambling dice originally, by now are working in areas such as insurance and investment.

[ 編集 ] 基礎概念 Basic concepts

確率論で使われるいくつかの重要な概念を簡単に解説する。 Easily be explained in several important concepts used in probability theory. 詳しい内容は各項目のページにある。 For more details on each item page.

標本空間 Sample space

確率論においてはただの集合であり Ω と書く。 But in Ω is a set of probability theory and writing. 空集合でない集合ならなんでも標本空間としてよい。 Sample space and do whatever you set is not empty. 意味的には、確率を問題としている領域において、ランダムに起こりうる現象の原因をすべて集めてきた集合である。 Semantically, in the area that the probability of a problem, because all have gathered a collection of symptoms that can occur randomly. このため、通常は非常に巨大な集合となる。 This usually becomes a very large collection. この領域における確率論的な現象は「Ω からひとつの元 ω が選ばれるが、どの元が選ばれたのか分からない」ということがすべてのランダムさの原因になるように記述される。 Stochastic behavior in this area "Ω ω is chosen from the original one, and I do not know what the source was chosen" to be described as the cause of all that random.

事象 Events

標本空間の部分集合のうち特別に選ばれたものを事象と呼ぶ。 Event was selected as something called a special subset of the sample space. 事象とする部分集合は勝手に決めてよいが、すべての事象を集めた集合Fは可算加法族になっている必要がある。 Subset of events that may have decided to hand the set F is a collection of all events must have an in-countably additive. 確率論において、事象だけが確率を測ることのできる対象である。 In probability theory, the target can only measure the probability of events. それ以外に、 Fは情報としての意味を持つ。 In addition to that, F is as meaningful information. 事象Aに対して、Ω からランダムに選ばれた ω がAに含まれるか含まれないかは判断できる。 For events A, Ω ω is chosen at random from A is included or not included or can be determined. Fに含まれるすべての事象を使えば ω をひとつに特定できるかもしれないし、できないかもしれない。 F If you use all the events ω might be contained in one particular, may not. Fの代わりにFより小さな可算加法族を使えば、特定できない ω が増加する。 F instead of F if using a smaller tribe countably additive, can not identify an increase in ω. このように、可算加法族の大きさは標本空間を観察する目の細かさを表している。 In this way, the size of the family that represents the countable additivity of the minor to observe the sample space.

確率測度 Probability measure

各事象に対して 0 以上 1 以下の数を対応させる関数を確率測度といいPと書き、事象Aの起こる確率はP ( A ) となる。 0 or 1 for each event and a good chance to measure the number of the following functions to support and write P, the probability of event A is P (A) will be. Ω 自体は常に全事象と呼ばれる事象であり、全事象の起こる確率は 1 でなければならない。 Ω event itself is always called the whole event, the probability of all events must be one. Pも勝手に決めていい関数であるが、確率測度の公理を満たすように定める必要がある。 P I decided to freely function is also provided to meet the needs of the probability measure axioms. 客観確率の持ついくつかの性質を選んだものであるが、 ベイズ統計学のような主観確率を問題とする場合でも、人間はこの公理を満たすほど合理的な基準で確率を定めると仮定することによって、主観確率のモデルとして確率測度を使用する。 That is what some have chosen a probabilistic nature of the objective, even if you question the probability of Bayesian statistics, such as subjective human beings shall be assumed as a reasonable probability that meet the criteria of this axiom by using the probability measure as a model of subjective probability.

確率空間 Probability space

標本空間 Ω と事象の全体Fと確率測度Pの組を確率空間と呼ぶ。 Entire event sample space Ω and probability measure P and F is called a set of probability space. 確率の問題を確率論的に定式化するということは、この確率空間を定めることである。 Means that the probabilistic formulation of the probability problem is to determine this probability space. しかし、通常はその問題にはどのような確率変数が存在するかということを調査し、必要となる確率変数をすべて含むことができるぐらい巨大な Ω を定める。 However, the problem is usually that investigated whether there is any random variable, large enough to be a random variable that will contain all the required Ω provided.

確率変数 Random variable

Ω 上で定義された実数値関数で、 F可測であるものを確率変数と呼ぶ。 Ω real-valued function defined on, F what is called a measurable random variable. 確率変数は、例えば「サイコロの目」のように、ランダムに値が決まる対象を定式化するものである。 Random variables, for example "of the dice" as is formulated to target those whose values are determined randomly. この定式化では、確率変数の値は「Ω からランダムに選ばれた ω」を元に自動的にひとつに定まる。 In this formulation, the value of a random variable is "Ω was chosen at random from ω" automatically determined based on one. すなわち、確率変数のランダムさの要因は「Ω からランダムに ω が選ばれる」ということのみになる。 In other words, the randomness of a random variable factors is "Ω ω is chosen at random from" that would only. F可測であるというのは、確率変数が ω に関してもたらす情報がFによる情報を超えないということである。 That F is measurable, but provide information about a random variable ω F is that by exceeding the information. 例えば、 Fによって区別できない複数の ω があるとすると、確率変数の値によっても、それらを区別することはできない。 For example, F can not be distinguished by multiple and ω is found to have also the value of a random variable that can not distinguish between them.

[ 編集 ] 初等的な確率との違い Differences between elementary probability

[ 編集 ] 関連項目 See also

• 大数 Bignum
• 中心極限定理 Central limit theorem
• 確率空間 （ 確率の公理 ） Probability space (axioms of probability)
• 測度 （ 確率測度 ） Measure (measure of probability)
• 確率変数 Random variable
• 独立性 Independence
• 確率分布 Distribution
• 確率過程 Stochastic
• ベイズの定理 Bayes theorem
• ウィーナー過程 （ ブラウン運動 ） Wiener process (movement Brown)
• 伊藤清 、 伊藤の公式 （ 伊藤の補題 、伊藤のレンマ） Kiyoshi Itō, Ito formula (Ito's lemma, Ito's lemma)
• 確率微分方程式 Stochastic differential equations
• 数理ファイナンス 、 金融工学 、 ブラック-ショールズ方程式 、 デリバティブ Financial Mathematics, Engineering, Finance, Black - Scholes equation, derivatives
• 項目応答理論 Item Response Theory
• 推計統計学・推測統計学・推計学 Statistical inference inferential statistics stochastics
• R言語 R language