集合 Set

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 Source: material may be challenged Wikipedia encyclopedia (Wikipedia) 』

データ構造については「 集合 (プログラミング) 」を、生物の集団については「 群れ 」を、人間の場合については「 集団 」をご覧ください。 Structure data "set (programming)," a group of organisms for the "flock" to the case of the man is "collective" please.

数学における集合 （しゅうごう、英: set , 仏: ensemble , 独: Menge ）とは、いくつか（有限または無限）の「もの」からなる「集まり」である。 Sets in mathematics (and Yuugou, UK: set, France: ensemble, Germany: Menge) and some (finite or infinite) of "things" consisting of "gathering" is. 集合に含まれる「もの」のことを元 （げん、 element ; 要素 ）という。 Included in the set of "things" original to the (atomic, element; elements) that.

集合は、 集合論のみならず現代数学全体における最も基本的な概念の一つであり、現代数学のほとんどが集合と写像の言葉で書かれていると言ってよい。 Collective, is one of the most basic concepts in modern mathematics as well as the entire set theory, better to say that the map is written in the language of modern mathematics and most of the set.

慣例的に、ある種の集合が系 （けい、 system ）や族 （ぞく、 family ）などと呼ばれることもある。 By convention, the set of certain systems (silicon, system) family and (noble, family) and sometimes called. 実際には、これらの呼び名に本質的な違いはないが細かなニュアンスの違いを含むと考えられている。 In fact, the essential difference between these literally are considered differences of nuance and detail, including but not quite. たとえば、方程式系（「相互に連立する」方程式の集合）、集合族（「一定の規則に基づく」集合の集合）、 加法族 （「加法的な性質を持つ」集合族）など。 For example, the system of equations ( "a coalition with each other," a set of equations), family of sets ( "based on certain rules," a set of sets), ethnic additive ( "with the additive nature of" family of sets), etc..

[ 編集 ] 導入 Introduction

詳細は「 素朴集合論 」を参照 See "set theory naive" section

集合は「もの」の「集まり」である。 Set the "what" of "gathering" is. 集合の元 （要素）として集められる対象となる「もの」は、 数 、 文字 、 記号などをはじめ、どんなものでも（もちろん集合でも）構わない。 Original set (elements) will be collected as a "thing" is a number, letter, such as symbols, anything (even a set of course) do not care.

一方で、どんな「集まり」でも集合と呼んでよいわけではない。 On the other hand, any "gathering" but it does not set a good call. その「集まり」が集合と呼ばれるためには、対象が「その集まりの元であるかどうかが不確定要素なしに一意に決定できる」ように定義されていなければならない。 The "collection" is set to be called the subject "can be uniquely determined without the uncertainties of whether the original collection" must be defined.

[ 編集 ] 帰属と包含 Ownership and containment

詳細は「 部分集合 」、「 包含関係 」、「 元 (数学) 」、「 帰属関係 」をそれぞれ参照 More "subset", "relationship containment", "source (mathematics)", "relationship attribution," reference each

集合と元、集合と集合などの間には含んだり含まれたりといった素朴な関係を考えることができる。 Original set, and between sets and set relations can be thought of as naive or contain Dari included.

帰属関係 Relationship attribution

対象aが考えている集合Aの元になっているとき、「 aは集合Aに属す」「集合Aはaを元として含む」などといい、 a ∈ Aと表す。 The idea for a collection that is when the original A, "a belongs to the set A" "A is a set containing the original" and hope, a ∈ A and represent.

包含関係 Containment relationship

2 つの集合A , Bについて、 Aに属する元がすべてBにも属するとき、すなわちa ∈ A ⇒ a ∈ Bがaの取り方によらずに成り立つとき、「 AはBの部分集合である」「 AはBに集合として含まれる」「 BはAを包含する」などといい、 A ⊂ BまたはA ⊆ Bと記す。 Two sets A, B on, A belongs to B when all belong to the original, ie a ∈ A ⇒ a ∈ B is a time regardless of how someone holds on, "A to B is a set part of" "A is set to be included as a B" "B is A encompassing" and hope, A ⊂ B or A ⊆ B and記Su.

1 つも要素を含まないような集合を空集合といい、{} または I set one as the empty set contains no element none () or と表す。 And represent. いかなる集合も必ず空集合を部分集合として含むと考えられているが、各集合に包含されている空集合がいついかなるときも同一のものであると考えるのは議論の便宜上必要な規約である。 Is believed to contain the empty set as a subset of any set must also think of any time is the same even when the empty set is included in each set of terms is necessary for convenience of discussion.

集合の相等関係は、それらに帰属する元の相等によって定められる。 Equality relation of the set is determined by equality of them belong to the original. つまり、2 つの集合が同じ元を全て含み、なおかつ異なる元をまったく含まないとき、2 つの集合が等しいという。 In other words, the same two sets contain all the original one, yet different when the original does not include any two of the three sets are equal. 集合AとBが等しいことをA = Bによって表す。 Sets A and B represented by A = B equality. これを包含関係を用いて表せば、 If this表Se using the containment relationship,

A = B ⇔ A ⊆ BかつA ⊇ B A = B ⇔ A ⊆ B and A ⊇ B

となる。 Be.

同じように「含む」といっても、帰属関係にあることと包含関係にあることとは異なる概念であって、混同してはならない。 As "including" but saying, and that the relationship between belonging and inclusion that the relationship will be different concepts, and should not be confused. 例えば、 X ⊂ Y ⊂ Zならば必ずX ⊂ Zであるが、 X ∈ Y ∈ ZからはX ∈ Zは必ずしも導かれない。 For example, X ⊂ Y ⊂ Z is always that if X ⊂ Z, X ∈ Y ∈ Z X ∈ Z is not derived from necessarily. また、 x ∈ A ⊂ Bならばx ∈ Bであるが、 x ⊂ A ∈ Bからはx ∈ Bを帰結することは一般にはできない。 Also, x ∈ A ⊂ B, then x ∈ B that is, x ⊂ A ∈ B x ∈ B from the general conclusion that can not.

[ 編集 ] 集合の記述法 description of the collection method

具体的な集合を取り扱うためには、集合を具体的に記述する方法が必要である。 To handle a specific set, it is necessary to specifically describe how to set. たとえば集合に属する元をすべて列挙することが 1 つの方法である。 To enumerate all of the original set, for example belonging to one of two ways. たとえば 10 未満の自然数におけるのなかで奇数であるもの全体の集合は For example, a collection of 10 all that is in a odd number of natural numbers less than

{1, 3, 5, 7, 9} (1, 3, 5, 7, 9)

と記すことができる。 And can be described. 「集合に属する元をすべて列挙すること」で集合を記述する方法を集合の外延的記法と言う。 "To enumerate all the former belonging to the set," he says extensive notation of how to describe the set by set. 集合は、順番を入れ替えたり、同じものを付け加えても、もとのものと等しい： Set, or swap the order, but added the same thing, which is equal to the original:

{1, 2, 5, 7, 10} = {5, 1, 7, 2, 1, 5, 10, 2}. (1, 2, 5, 7, 10) = (5, 1, 7, 2, 1, 5, 10, 2).

また、集合に属する元が満たすべき条件を明示することも集合を記述する方法である。 The way to explicitly describe the set also belong to the original set of conditions are met.

Nは全ての自然数からなる集合である。 N is the set consisting of all natural numbers.

Nの元は自然数であって、自然数はすべてNに属す。 Will be the source of the natural numbers N, N belongs to all of the natural numbers.

「ある集合に属するために元が満たさなければならない条件を明示すること」で集合を記述する方法を内包的記法と言う。 "Specify the conditions that must be satisfied to belong to the set in the original" How to say the notation to describe the collective comprehension. 対象xがある集合に属する条件がP ( x ) であるということを { x | P ( x )} という記号で表す。 For x belonging to the set conditions that P (x) that is (x | P (x)) represents the symbol. つまり That

S = { x | P ( x )} S = (x | P (x))

と記せば、 SはP ( x ) を満たすようなすべての元xから構成される集合であるという意味である。記Se and if, S is P (x) to satisfy all of the original x is a set consisting of mean. なお、"|" のかわりに ":" が用いられることもある。 The "|" instead of ":" It can be used.

S = { x : P ( x )}. S = (x: P (x)).

A = {0,1,2,3,4,5}, A = (0,1,2,3,4,5),

B = { n | n ∈ N , n ≤ 5 } （自然数に 0 を含む） B = (n | n ∈ N, n ≤ 5) (the natural numbers including 0)

を例にとると、 Aは外延的、 Bは内包的に記述されてはいるが、 A = Bである。 Take, for example, A is extensional, B has been described that is inclusive, A = B is.

すべての奇数からなる集合（自然数に 0 を含む場合）： Set consisting of all odd numbers (natural numbers including zero):

C = { x | x = 2 n + 1 for some n ∈ N }. C = (x | x = 2 n + 1 for some n ∈ N).

これはしばしば、外延的に This is often the extensional

C = {1, 3, 5, 7, ...} C = (1, 3, 5, 7, ...)

のようにも書かれるが、"..." の部分が何を言っているのかが明らかな場合以外は混乱を生じる恐れがあり、注意して使わなくてはならない。 ,"..." Also be written as a non-obvious if you are talking about the part of fear has caused confusion, without using should be careful.

[ 編集 ] 濃度 Concentration

詳細は「 濃度 (数学) 」を参照 More "concentration (mathematics)" section

有限個の元からなる集合を有限集合 （ゆうげんしゅうごう、 finite set ）と呼び、集合Aの元の個数を #( A ), | A |, card( A ) などの記号で表すことが多い。 Finite set consisting of original pieces, Ltd. (Yuugenshi Yuugou, finite set) is called, the number of the original set A # (A), | A |, card (A) and is often represented by symbols. 有限集合でない集合を無限集合 （むげんしゅうごう、 infinite set ）という。 Not a finite set of infinite sets (Mugenshuugou, infinite set) of. 無限集合に対しても「個数」の概念を広げて、 濃度 （のうど、 potency 、または基数 、 cardinal number , cardinality ）というものを考える。 Even for an infinite set of "number" to expand the concept of concentration (serf, potency, or base, cardinal number, cardinality) think they are. 個数を数える代わりに、ある集合を使って、その元で別の集合をラベル付け（ indexing ; 添字付け）して、 一対一の対応がとれるかどうかを調べるのである。 Instead of counting the number, using a certain set, another set of their original labeling (indexing; with index), and is in examining whether the business can be one to one correspondence. そうすると有限集合の濃度はちょうど元の個数で決まるので、ちゃんと無限集合への「個数」の拡張となる概念が定まっていることが確認できる。 Concentration determined by a finite number of elements, so then, just to the infinite set things right "number" to verify that the concept will have a permanent extension.

無限集合はどれも「 無限個」の元を持っているわけだが、どの無限もみな同じというわけではなく、濃度の概念ではたくさんの無限を区別して扱うことになる。 Any infinite set of "individual indefinitely," but they have the original, not all the same that any infinite, the concept of concentration will be treated to plenty of distinction between the infinite. たとえば、自然数と有理数が同じ濃度を持つ、自然数と実数は真に異なる濃度を持つといったような事実は数学を学ぶ者にとってよく知られた内容である。 For example, with the same concentration of natural numbers and rational numbers, real and natural numbers such as the fact that the concentration is truly different from what was known for studying math. 同様の事実に、平面R ²と数直線Rは同じ濃度を持ち、平面を覆いつくす平面充填曲線と呼ばれる不思議な平面曲線が何種類も存在することが述べられる。 The fact that a similar plane of R ² and R lines have the same concentration, mentioned that there are many different curves mysterious plane filling curve known as a flat surface covering. より次元の高い空間でも同様で、空間を埋め尽くす空間充填曲線が構築される。 The same high-dimensional space any more, is being constructed space-filling curves fill the space. 異なる次元をもつ空間が同じ濃度をもつというのは、次元や濃度が一方が他方を測るようなものではない異なる尺度であることを表しているのである。 That space with the same concentration with different dimensions, a measure like the other one-dimensional and the concentration of which is indicate that there is a different scale.

[ 編集 ] 集合の演算 Operators of the set

いくつかの集合を扱い、その関係性について論じるとき、もともと考えていた集合たちから新しい集合を作って調べるというのは有効な手段の一つである。 Several sets of treatment, when discussing their relationship, that they look set to make a new set of original thought is one of the effective means. これらの操作は、集合に対する演算と見なすことによって、 集合族に関するいくつかの代数系を提供する。 These actions by the operator with regard to the collection, to provide a system of algebraic or set a number of tribes. それらの代数系を抽象代数系と見なせば、抽象代数学の一般論を適用することでまたいくつかの概念を提供することになる。 If見Nase abstract algebra and algebraic systems of them will also provide some notion of applying the general theory of abstract algebra.

[ 編集 ] 基本的な集合演算 The basic set operations

詳細は「 和集合 」、「 積集合 」、「 差集合 」、「 対称差 」、「 指示関数 」をそれぞれ参照 See "set sum", "collection area", "set difference", "symmetric difference", "function instruction" each reference

結び・結合・和 Combined sum knot

二つの集合を「くっつけ」て一緒にしてしまうことで新しい集合を取り出すことができる。 Set of two "touching" a new set can be retrieved by turning them together. 加法的な集合族の基本となる演算のひとつ。 One of the underlying operations of an additive family of sets. 和集合 。 Union.

交わり・交叉・積 Cross product of fellowship

二つの集合の共通した部分を見つけることで、新しい集合を取り出すことができる。 In finding a common set of two parts, you can retrieve a new set. 乗法的な集合族の基本となる演算。 The basic arithmetic multiplicative family of sets. 積集合、 共通部分 。 The intersection, part of the common.

直和・非交和 Non-direct sum交和

二つの集合の、交わりを持たない和。 Set of two, the sum does not have a fellowship.

差・相対補 Complement relative difference

二つの集合のうちの一方の集合について、それに帰属する元のうち、同時に他方にも含まれる元を取り除いて新しい集合を作ることができる。 For one set of the set of two original one belonging to it, you can create a new collection also includes removing the source of the other simultaneously. 差は一方と他方の補集合との交わりであり、乗法的な演算である。 Difference is the complement of the other and fellowship with the other hand, the multiplicative operator.

補・絶対補 Absolute complement complement

全体集合（普遍集合）が与えられ、任意の集合は全体集合の部分集合であるという仮定のもとで、一つの集合の全体からの差。 Whole set (the universal set) is given, under any set of assumptions that a subset of the entire set, from difference of one whole set. 勝手な集合はその補集合と交わりを持たず、それらの和は全体集合に一致する。 Arbitrary set has no fellowship with its complement, the sum of the whole set can match them.

対称差 Symmetric difference

二つの集合の結びに帰属する元から、その交わりに属する元を取り除いて新しい集合を考えることができる。 Attributable to knot the set from the former two can be considered a new set of fellowship belonging to remove the original. これは結びから交わりを引いた差である。 This is the difference minus a fellowship from the knot. 結びと同様に加法的な演算。 Signed as an additive operator.

指示関数はこれらの集合演算を 0 と 1 からなる世界の代数的な演算に置き換える手段を与える。 Function of these instructions is a set of 0 and 1, giving operators a way to replace the algebraic operations consisting of the world.

[ 編集 ] その他の演算 Other operators

詳細は「 直積集合 」、「 冪集合 」、「 配置集合 」、「 商集合 」をそれぞれ参照 See "set direct product", "collective unity", "assembly place", "set-commerce" refer respectively

上記演算は、全体集合が一つ与えられ、演算の引数となる集合たちがその部分集合であるならば、その演算結果もふたたび同じ全体集合の部分集合となるようなものである。 These operators are given one whole set, if there is a subset of their arguments and a set of operations, is something that might be the same again and the subset of the overall results of operations. 一方、必ずしもそれが期待できないような演算もある。 However, some operations that can not necessarily expect it.

冪 Powers

与えられた集合に対して、その冪集合に帰属する元は与えられた集合に包含される任意の集合である。 For a given set, belong to the original set is the set of powers that will be included in any given set. ある集合の冪集合はその集合の部分集合からなる集合族のなかで最大のものであると言っても同じである。 Power set of a set that is to say the same things set up in a family consisting of a subset of the set.

直積 Cartesian product

二つの集合に対し、それぞれに帰属する元の順序付けられた対を要素とする集合を作ることができる。 Set for two sets can be made to pair the elements belonging to each of the original order.

配置集合 Set placement

ある集合から別の集合への写像を一つの元と見なすならば、その全体として新たな集合が見出される。 If one considers the original map from the set to another set of some new sets to be found as a whole. 直積集合は、順序数の各元に任意の集合を対応させる写像からなる配置集合と見ることもできる。 Cartesian product can also be viewed as consisting of a set place to support a set of mapping each element of any order.

商 Commercial

集合に類別を与えるとき、各類をその要素とする集合を考えることができる。 When given a set assortment, can be set to consider the kinds of elements.

[ 編集 ] いくつかの集合族 some family of sets

詳細は「 集合代数 」を参照 More "algebra" section

集合からなる族Aを考える。 A family consisting of a set given. Aが集合演算についていくつかの性質を満たすとき、それらには特別の名前が与えられることがある。 A few things about when you meet the nature of the set operations, including those that may be given a special name.

• Aが（有限）交叉について閉じているとき、 π-系 (π-system) であるという。 A a (finite) closed when you are about crossing, π-system (π-system) is called. π-系が空集合を含むとき乗法族 (multiplicative class) であるといい、さらに可算交叉について閉じているときδ-乗法族であるという。 When multiplicative set containing π-family system is empty (multiplicative class) is good when you are also closed under countable cross-δ-called family is multiplicative. また、乗法族が包含関係を持つ任意の二つの集合に対し、一方から有限回の非交和を行って他方へ達する列を持つとき集合半環 (semi-ring of sets) という。 Also, for any two sets of relationships with the tribe include multiplication, semi-ring set with a column when we reach to the other non-交和times from one finite (semi-ring of sets) that.
• Aが（有限）和と（有限）交叉について閉じているとき、集合の束あるいは集合環 (ring of sets) という。 A a (finite) sum (finite) when you are closed under intersection, ring set or a bunch of sets (RING of sets) that. Aが空集合でなく（あるいは空集合を元として含み）、和と差について閉じている（あるいは同じことだが対称差と交叉について閉じている）場合に限って集合環と呼ぶ場合もある。 A instead of the empty set (including the original or the empty set) are closed under sum and difference (which is closed under symmetric difference and the cross or the same thing), sometimes called a ring if and only if the set. さらに可算交叉について閉じていればδ-集合環 、可算和について閉じていればσ-集合環という。 Closed under countable if further cross-δ-ring set, closed under sum if the σ-countable set of rings. また、これらが全体集合を含むならば集合代数 (algebra of sets) あるいは集合体 (field of sets) という。 Also, if the algebra of sets, including the entire set of these (algebra of sets) or aggregate (field of sets) that. δ-集合体はσ-集合体である。 δ-assembly is a σ-assembly.
• Aが空集合を含み、（有限）和および補について閉じているとき加法族 (additive class) であるという。 A contains the empty set, (finite) when the family closed under complement addition and the sum (additive class) is called. さらに可算和について閉じているならば完全加法族 (countably additive class) という。 Sigma-algebra is closed if for sum more countable (countably additive class) said. 集合族Aが加法族であることは集合体であることと等価であり、同様に完全加法族は σ-集合体の別名である。 Sigma-algebra A is a family of sets is equivalent to the aggregate, as well as Sigma-algebra is an alias for σ-aggregate.
• 単調族は包含関係に関する単調列の極限について閉じている集合族 Tribe Tribe monotonous string sets are closed under monotone limits of containment relationship between
• ディンキン族は全体集合を含み、包含関係を持つ集合同士の差について閉じていて、可算増大列の極限について閉じている。 Dynkin the whole set including, for they closed the set with the difference between containment relations are closed under countable increasing the limit of the column. λ-系は全体集合を含み、補について閉じていて、可算非交和について閉じている。 λ-system includes the whole set, they are closed under complement, are closed under countable non交和. この二つは同じ概念を定める。 These two provided the same concept.
• 層族 (laminar family) Tribe layer (laminar family)
• ブール環 Boolean ring

[ 編集 ] 関連項目 See also

• 写像 Map
• 集合論 - 素朴集合論 / 公理的集合論 Set theory - Naive set theory / theory of axiomatic set
• 定義 - 外延と内包 Defined - and extensive comprehension